Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Gömbi geometria tanítása a felső tagozaton

2008.08.28
 
 
Gömbi geometria tanítása a felső tagozaton
Tapasztalataim, ötleteim
A geometriatanítás során a gyerekek csak az Euklideszi geometriával ismerkednek meg. Pedig a érdemes összehasonlítani a síkot és a gömbfelszínt. Vajon a gömbön hogyan érvényesek a síkbeli tételek? A gömbi geometria tanulmányozása során ugyanazokat a fogalmakat vizsgálhatjuk, mint a síkon: a pont, az egyenes, a kör, mérhetünk távolságot, szöget, területet. A Lénárt gömb segítségével a diákok könnyen összehasonlíthatják a gömbi geometria fogalmait az euklideszi síkgeometria megfelelő fogalmaival.
Szlovákiában az Európai Szociális Alap támogatásával a pozsonyi Komensky Egyetem indított egy magyar nyelvű e-learning tanfolyamot, Lénárt István vezetésével. Ezen a tanfolyamon ismertem meg ennek az oktatási módszernek alapjait. Itt szerzett tapasztalataim ösztönöztek arra, hogy ezt a módszert tanítványaimmal is kipróbáljam. A 2008 júliusában Debrecenben rendezett Rátz László vándorgyűlés egyik szemináriumán Tóth Mariann bemutatta a Lénárt-féle rajzgömbkészletet. Azt állította, hogy a gömbi geometriával való foglalkozás főleg csak szakkörön alkalmazható a kicsi órakeret miatt. Ezzel a megállapí-tásával szeretnék kicsit vitába szállni, s leírni Önöknek a gömbi geometria tanításában két év alatt szerzett tapasztalataimat, ötleteimet.
A munkamódszerről
A munka során a gyerekek kooperatív csoportokban dolgoznak. Ezeket a 2-4 főből álló tanulócsoportokat különböző képességű és teljesítményű, eltérő szocio-kulturális háttérrel rendelkező, különböző nemű gyerekek alkotják. Ezek a vegyes csoportok a gyerekek kívánságai szerint jönnek létre. Ez esélyt ad a gyengébb képességűnek arra, hogy ne maradjanak le, a jobb képességűeknek pedig – akik “tanítva” is tanulnak – arra, hogy az adott témakörben mélyebb és tartósabb tudásra tegyenek szert. Ez a tanulási mód jobban fejleszti a gyerekek problémamegoldó, elemző képességét, erősebb a motivációjuk, mivel a tanulás tevékenységhez kötődik.
Minden csoport kap egy-egy gömbkészletet. A terem elrendezése az órák közti szünetekben történik, a padokat a táblára kb. merőlegesen állítják fel, s ezt ülik körül. Az első, amit meg kell szokni, hogy a zajszint eleinte magasabb, mint frontális osztálymunka során. Munkám során sokat segít Lénárt István: Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön c. munkája. Az egyes tanórákra ebből fénymásolom ki a szükséges diák-oldalt, mely a diákok által elvégzendő kísérletek részletesebb útmutatója. Ezt óra elején megkapják a tanulók, ez alapján dolgoznak, az óra 2. részében, végén pedig megbeszéljük, mire jutottak az egyes csoportok, összehasonlító táblázatba foglaljuk a síkon és gömbön végzett kísérletek során tett megfigyeléseinket.
A gömbi geometria órákat mindig nagy izgalommal várják a gyerekek. Az ismerkedést mind a hetedik, mind a nyolcadik osztályosoknál, mind az első gimnazista diákoknál azzal kezdtük, hogy bemutattam a NASA által készített Földtérképet, ez nagyon tetszett nekik, s megbeszéltük, melyik szín mit jelent rajta. Rájöttek, hogy a kék a tenger, víz, a zöld erdő, a sárga sivatag, a fehér hó, jég. Itt megkérdeztem, látható-e az űrből fehér, de nem hideg dolog? Rávágták, hogy a jegesmedve. De élőlényt nem láthatunk, viszont a sósivatagokat, pl. a Kaszpi-tenger melletti Kara- Bogazt igen. Látunk-e emberi építményt? Nem. Ha a vastag gömb a Földgolyót jelképezi, a rajta lévő vékony fólia vastagsága hogyan viszonylik a Föld legmagasabb hegycsúcsának, a Himalájának magasságához? A találgatások során nem hangzott el a helyes válasz, miszerint a Himalája 3-szorosa, de legjobban az elsősök közelítették meg a jó választ. (Itt utalni lehetett a bioszféra sérülékenységére, a környezetvédelem fontosságára.)
Eleinte, amíg nem állt rendelkezésünkre elegendő Lénárt-féle rajzgömb, labdákra rajzoltunk, ill. almán, narancson tanulmányoztuk az alapfogalmakat. Minden csoport rajzolt valamit a gömbre, s aztán ezt a többieknek bemutatta. Az óvodai jelek mellett, a napocska, szív volt a fő sláger. Ez megalapozta a jó hangulatot. A gyerekek felszabadultan, nagy örömmel dolgoztak. Megállapodtunk abban, hogy a legegyszerűbb elem síkon is, a gömbön is a pont. Az első két órán a rajzeszközökkel ismerkedtünk. Ami meglepett és nagyon örültem neki, mikor az elsősöknél is az volt a feladat, hogy rajzoljanak ábrákat a gömbre az eszközökkel való ismerkedés gyanánt, akkor egy csoport kivételével senki sem óvodás jeleket rajzolt. Hanem vagy koncentrikus köröket szerkesztett vagy a rozettaszerkesztéssel próbálkozott. Természetesen sikertelenül, mert ez utóbbit a gömbön nem lehet megszerkeszteni.
A második órán összehasonlították a síkbeli egyenes és a gömbi egyenes, a főkör tulajdonságait. Felfedezték, hogy két különböző gömbi főkör mindig két pontban metszi egymást. Érdekesnek találták, hogy a gömbön nem léteznek párhuzamos egyenesek. Megvizsgálták azt, milyen tulajdonságai vannak a merőleges egyeneseknek a síkon és a gömbön. Összehasonlították síkbeli tapasztalataikat a gömb geometriájával. Rájöttek pl. arra, hogy míg a síkban két egymásra merőleges egyenes egy pontban metszi egymást, addig a gömbön két pontban.
Földrajzi távolság becslése a NASA térkép segítségével
            A földrajz szakos kolléganő betegsége miatt alkalmam volt hosszabb ideig földrajzot helyettesíteni, s eszembe jutott, hogy megvizsgálom, mennyire képesek a 8., 10. és 11. osztályos diákok a Lénárt-gömbre helyezett vaktérkép segítségével néhány város egymástól való távolságát megbecsülni.
Először tisztáztuk, hogyan mérünk távolságot a gömbfelületen. Nem okozott számukra gondot annak elfogadása, hogy két pont távolságát a rajtuk átmenő gömbi főkör mentén mérjük. Mivel két pont gömbi főkörrel történő összekötésével 2 mérhető főkörív keletkezik, megállapodtunk abban, hogy ezek közül ezentúl a nem hosszabbat választjuk. Ezekből azt is kikövetkeztették, hogy két pont távolsága nem lehet nagyobb 180 foknál, két átellenes pont távolsága pedig mindig 180°. Könnyen megértették, hogy a gömbön a távolságot mérhetjük a szögméréskor már használt fokokban, hiszen egy egységsugarú gömbi főkör kerülete éppen 2.π, ehhez 360°-os középponti szög tartozik. Átellenes pontoknál a kerület is feleakkora lesz, azaz pínek a fele, vagyis 180 fok. Nehézséget okozott számukra, hogy két város fokokban mért távolságát hogyan számítsák át kilométerekre. Először is az egyenes arányosság, a hármasszabály használatát kellett felelevenítenünk. Majd kiszámoltunk néhány példát együtt, ezután csoportokban dolgoztak. A numerikus számítások gyakorlására, magyarázatára is alkalmas lehet a gömbi geometriával kapcsolatos anyag.
 
A feladat az alábbi néhány város egymástól való távolságának meghatározása volt: Zselíz, Tokió, Sydney, Fokváros, Rio de Janeiro. A megengedett eltérés 500 km. (Lénárt István feladata)
Először táblázatot készítettek és megmérték az egyes városok egymástól való távolságát fokokban gömbi vonalzó segítségével. Az egyik 10. osztály  tippjei a következők voltak:
Zselíz- Tokió: 9 000 - 14 000 km, tehát volt, aki belefért az 500 km-es hibahatárba
Zselíz - Sydney: 15 300 km, ez is jó volt
Zselíz - Fokváros (Capetown): 7 832, 7 800, 9 000, 16 000 km, itt nagy volt a szórás
Zselíz - Rio de Janeiro: 11 120 - 11 600 km, itt mintegy 1 500 km-es az eltérés
Tokió - Sydney: 5 500 - 7 000 km, nagyobb a hibahatárnál
Tokió - Fokváros: 5 000, 13 000, 18 000 km, nagy a szórás
Tokió - Rio de Janeiro: 14 000, 15 000, 17 000, 18 000, 19 000 km, nagy a szórás, de van, aki jól becsült
Sydney - Fokváros: 4 200, 6 500, 12 000 km, nagy a szórás és nem becsült jól senki sem
Sydney - Rio de Janeiro: 11 000, 12 800, 13 000, 18 000 km, nagy a hibahatár, de néhányan eltalálták
Fokváros - Rio de Janeiro: 7 000, 7 500, 8 000 km, néhányan jól becsültek.
A diákok átlagosan 3 - 4 távolságot becsültek meg a megengedett 500 km-es hibahatárral, a többi mérési hiba ennél jóval nagyobb volt. De ezen nem kell csodálkozni, a többség életében először láttott gömböt és a gömbön vaktérképet. A munkát mindegyik csoport szívesen végezte.
            A diákok a földi távolságbecslő képessége nem jó, ezen segíthet a gömbhasználat.
 
 
A gömbháromszög belső szögeinek összege
 
A gömbi geometriai tanulmányainkat a sokszögek tulajdonságainak vizsgálatával folytattuk. Az 1. órán mind a 7. mind a 8. osztályban először átismételtük a síkbeli háromszögekről, négyszögekről tanultakat, majd a gömbi kétszögek (2 óra) ill. gömbháromszögek (2 óra) tanulmányozására tértünk rá. A 8.-osokkal gyorsabban tudtunk haladni, mert fegyelmezettebbek voltak és a feladatokra koncentráltak.
Azt, hogy a síkbeli háromszögek belső szögeinek összege 180°, többféle módon láthatjuk be: tépéssel-ragasztással, hajtogatással, méréssel, ill. be is bizonyíthatjuk. Pl.: két váltószög vagy pedig egy váltó és egy egyállású szög segítségével.
A gyerekek számára nyilvánvalónak tűnik, hogy mivel a síkon a 3 az a legkisebb szám, amelynek megfelelő sokszöget előállíthatunk, akkor a gömbön is léteznek háromszögek. De meglepődnek, ha megkérdezzük: Vajon létezik-e olyan sokszög a gömbön, amelynek háromtól kevesebb szöge van? Nem lehetne-e még lejjebb menni? Amikor a gömbön valami nagyon eltér a síkban tapasztaltakkor, rádöbbenünk mi is, a gyerekek is, hogy milyen fontos is, hogyan definiálunk egy adott fogalmat!! Hogyan határozhatjuk meg a “zárt sokszög” fogalmát a síkon? A diákok válasza az volt: amelyiknek legalább 3 szöge van. De ebben a megfogalmazásban a zártság egyáltalán nem szerepel.
Tekintsük a következő meghatározást: Nevezzük zárt n-szögnek (ahol n tetszőleges természetes szám) n db síkbeli, ill. gömbi egyenesdarab rendezett sorozatát, ahol bármelyik egyenesdarab végpontja megegyezik a rákövetkező egyenesdarab kezdőpontjával, az utolsó, n-edik egyenesdarab végpontja pedig megegyezik az első egyenesdarab kezdőpontjával. A matematikai jelöléssel ilyen kicsiket nem célszerű elrémiszteni, de ez a megfogalmazás számukra is elfogadható.
Nagyon tetszett nekik az, ahogyan bemutattam az Euler-féle gömbháromszögmodellt.(Az Euler-háromszög mindegyik belső szöge konvex. A belső szög és a konvex fogalmak ugyanúgy használhatók, mint a síkon.) Egy narancsba, mint gömbmodellbe három fogpiszkálót szúrtam, és befőző gumival összekötöttük a háromszög oldalait. Nem Euler-féle gömbháromszöget ( tehát amelyiknek legalább egyik belső szöge konkáv) csak egy diák tudott előállítani ezen a modellen. Megállapodtunk abban, ha a gömbháromszög három csúcsát mindig az őket összekötő rövidebbik főkörívvel kötjük össze, akkor a három csúcs már egyértelműen meghatározza a gömbháromszögeket ugyanúgy, mint a síkon. Az ilyen gömbháromszögeket Euler-féle gömbháromszögeknek nevezzük, és a továbbiak során már csak ezekkel foglalkozunk.
Az ügyesebbek észrevették, hogy vannak gömbi kétszögek is, és lelkesen tanulmányozták ezeket. Különféle nagyságú kétszögeket rajzoltak és méregették a szögeiket. Két átellenes pontot félfőkörívekkel (meridiánokkal) összekötve olyan zárt sokszöget kapunk, amelyek kielégíti a gömbi kétszögre vonatkozó elvárásainkat. Legfeljebb mekkora a gömbi kétszögek oldalösszege? Legalább és legfeljebb mennyi ez az összeg? 2. 180° = 360°, azaz 360 gömbi lépés! A belső szögek összegének alsó és felső határát vizsgálva, nem kis meghökkenéssel tapasztalták, hogy itt a szögösszeg nem állandó, hanem 0 ° és 360° közé eshet. Szabályos sokszög-e a gömbkétszög?-kérdeztem tőlük. Állapodjunk meg: Mit várunk el egy szabályos sokszögtől? Oldalai egybevágók legyenek és a szögei is!-felelték. Vizsgáljátok meg, teljesül-e rá mindkét feltétel? Megvizsgálták és rájöttek hamar, hogy igen, ez szabályos gömbi sokszög.
De az még a legjobbak számára is meglepő volt, hogy létezik gömbi egyszög is. Egy főkörön kijelölünk 1 pontot, erre is teljesül a definíció, hiszen az egyenesdarabok száma egy, oldalának hossza 360°, 1 szöge van, ennek nagysága 180°, az első és utolsó csúcspontja egybeesik. Szabályos sokszög-e a gömbi egyszög? Bizony az, mert mindkét feltétel teljesül rá!
A háromszög belső szögeinek összegét a következő kísérletsorozattal vizsgáltuk: Előbb a síkon, majd a gömbön is rajzolniuk kellett a diákoknak egy háromszöget, majd egy másikat, ami teljesen az előző háromszög belsejébe esett. Ezután meg kellett mérniük a szögeket s összegezni őket. S elgondolkodni azon, mennyi lehet a legkisebb és a legnagyobb szögösszeg a gömbön.
Több csoport abba a hibába esett, hogy a gömbvonalzóval történő szerkesztés során nem a vonalzó jó éleivel kötötték össze a háromszög csúcsait, s így ívháromszögekkel dolgoztak. Így ismételten meg kellett beszélnünk a gömbi szerkesztőeszközök használatát és a gömbi egyenes vonal fogalmát.
.
Arra ráéreztek, több háromszöggel végzett mérés után, hogy a szögösszeg nem állandó, de nem találták el, legfeljebb mekkora lehet. Azt tapasztalták, ha egy háromszöget teljesen a másik belsejébe rajzolunk, akkor a kisebb háromszög szögei is kisebbek, szögösszege is kevesebb. De a két elfajult esetet nem vették észre. Az egyik elfajult esetben, mikor 3 pont egy főkörre esik, a belső szögek összege 3.180° = 540°. A másik elfajult esetben, mikor a háromszögnek mindhárom csúcsa ugyanarra a főkörre esik, de az egyik oldal egybeesik a másik kettővel, akkor a háromszögnek két 0°-os és egy 180°-os szöge van, tehát a szögösszeg 180°. Ha egészen pici háromszögről van szó, akkor a szögösszeg közelít a 180°-hoz.
Nagyon tetszett nekik az a kérdés, hogy egy háromszögnek lehet-e egynél több derékszöge, ill. hány derékszöge lehet. Megállapították, hogy lehet egy, kettő, sőt 3 is. Megállapodtunk abban, hogy mivel 8 darab olyan háromszög, amelynek mindhárom belső szöge derékszög, lefedi az egész gömbfelületet, a három derékszögű gombháromszöget oktánsnak (gömbnyolcadnak) is nevezzük.
Ennél a témakörnél érdemes lett volna tovább elidőzni, nagyon szép szerkesztéseket, vizsgálatokat lehet végezni, ha összekötjük az oktáns felezőpontjait. De sajnos, erre enm volt már idő.
8. osztályban, mivel már ismerték Pitagorasz tételét, megvizsgáltuk, hogy vajon a gömbön is  érvényes-e ? Az oktánsokról rögtön látta néhány ügyesebb gyerek, hogy nem! Azzal érveltek, hogy ebben az esetben mindhárom oldal hossza egyenlő, és ha felírjuk erre e gömbháromszögre Pitagorasz tételét, akkor az egyes oldalakat a-val jelölve: az a2+ a2= a2 egyenletnek csak a = 0 esetén lesz megoldása. Úgy érzem, ez nagyban segítette őket a fogalmak tisztázásában.
A kör kerülete és átmérője arányának meghatározása kísérletekkel
Ezt a vizsgálódást a 8.-os. ill. 1. gimnazista diákok két órán át végezték. Egyik órán a füzetbe rajzoltak körül különböző méretű poharakat ill. szerkesztettek különféle sugarú köröket. Majd két húr felezőmerőlegesének metszéspontjaként meghatározták a kör középpontját. Zsineggel megmérték az átmérőjét és a kerületét, és rögzítették a mérések eredményét. A táblázatkészítés során mindkét osztályban azt a következtetést vonták le, hogy a síkon a kör kerületének és a kör átmérőjének aránya kb. 3,14. A gömbön ezeket a kísérleteket szintén elvégezték. Az egyes csoportok munkáját táblázatba foglaltuk óra végén.
A nyolcadikosok tapasztalatai:
Sorszám
átmérő (cm)
kerület (cm)
kerület / átmérő
1. kör
5
15,7
3,14
2. kör
5,8
18
3,1
3. kör
8
26,5
3,31
4. kör
11
33
3
5. kör
12
36,4
3,03
6. kör
14,7
45,5
3,09
7. kör
17
47
2,76
8. kör
17,5
48,5
2,77
9. kör
18
50
2,7
10. kör
27
61
2,25
11. kör
31,5
64
2,03
A következő kérdésekre kerestük a választ:
1. Mennyi lehet a legnagyobb kerület/ átmérő arány a gömbön? Rájöttek, hogy itt is 3,14.
2. Lehet-e a kerület / átmérő arány pontosan 2? A helyes válasz, az, hogy: Igen, mert a gömbi főkör esetében a kerület 2.r. π. Az átmérő r. π. Így hányadosuk éppen 2. Érdekes módon ezt leggyorsabban nem a legjobb diákom, hanem egy közepes képességű tanuló látta meg.
3. Mi lehet a legkisebb kerület / átmérő arány? A helyes válasz: minden gömbi körnek két középpontja, két sugara, s ezért két átmérője is van. Ha kijelöljük az Északi sarkot, mint körközéppontot, és egyre nagyobb köröket rajzolunk, ahogy közeledünk az Egyenlítő felé, egyre zsugorodik az arány pítől 2-ig, ahogy folytatjuk a körök rajzolását az Egyenlítőn túl, azt tapasztaljuk, hogy ez az arány nullára is csökkenhet.
A tanulókkal azt megbeszéltük az első összehasonlító geometriai órák egyikén, hogy minden körnek két középpontja van. Kísérletezés előtt azt nem mondtam nekik, hogy mindkét átmérő esetén számolják ki a kerület / átmérő arányt, s ez nekik sem jutott eszükbe. Még nagyon szokatlan volt számukra az új szemléletmód. A diákok a következő konklúzióra jutottak: A síkon a körök nagyságától függetlenül a kerület / átmérő arány mindig pí, azaz kb. 3,14 , míg a gömbön ez az arány a sugár nagyságától függően változik, lecsökkenhet kettőig is.
Újabb tapasztalatok a kerülettel, az elsősök mérési eredményei
A diákok az első két órán szintén különböző méretű poharak, különböző nagyságú körök kerületét, átmérőjét mérték meg zsineg segítségével. Először a síkban, azután a gömbön is. A kör középpontját először ők is húrok felezőmerőlegesének metszéspontjaként kapták meg, a síkon és a gömbön is. De mivel a nyolcadikban tapasztaltam, hogy ezzel rengeteg idő elmegy, később – két-három szerkesztés elvégzése után - már ezt nem kértem tőlük, hogy minél több kísérletet el tudjanak végezni. Minden kör esetében kiszámították a kerület és átmérő arányát. Azt tapasztaltam, hogy a nyolcadikosokéhoz hasonlóan egyrészt méréseik kissé pontatlanok voltak, hiszen a síkban a pínél, azaz 3,14 -nál magasabb értékeket is kaptak (pl.: 3,25, míg a nyolcadikosok 3,31). Másrészt bár különböző méretű  körökkel dolgoztak a gömbön is, mindig csak a kisebb átmérőt tekintették, és csak egy fiú rajzolt egészen pici (kb. 1 cm sugarú ) kört és vette az ahhoz tartozó nagyobbik átmérőt, s így kapott is 0,5 körüli értéket. A többiek számára hihetetlen volt, hogy ez létezhet.
Tanulva ebből, egy harmadik órát rászántam arra, hogy különböző méretű gömbi körök mindkét átmérője segítségével számolják ki a kerület / átmérő arányt. Azért, hogy később meg tudjuk beszélni, mindenkinek megadtam, hogy készítsenek táblázatot, és a kör kisebbik sugara rendre 10, 20, ...90 fokos legyen. A mérések itt is pontatlanok voltak, ez főleg az első körnél ugrott ki, ahol az arány helytelenül nagyobb lett pínél. Az osztály tapasztalatai, a mérési eredmények átlagolásával:
Rövidítések: r = sugár, K = kerület , d1= kisebb átmérő, d2 = nagyobb átmérő,
K / d1ill. K /  d2= a kör kerületének és átmérőjének aránya
 
 
 r ( fokokban )
K ( cm )
d1 ( cm )
K / d1
d2 ( cm )
K /  d2
10
13 
3,25 
59 
0,2 
20
 23
 7,5
 3
 58
 0,4
30
 33
 11
 3
 54
 0,6
40
 42
 14
 3
 51
 0,8
50
 54
 18
 3
 47
 1,14
60
 57
 22
 2,5
 44
 1,3
70
 61
 25
 2,4
 40
 1,5
90
 
 
2
 
2
Bármennyire is gyorsabban dolgoztak, mint a kisebb évfolyamba járók, a 90 fokos sugarú körrel kapcsolatos vizsgálódásra már nem jutott idejük, kerületét már nem tudták megmérni. Arra már segítséggel és nehezen jöttek rá, bár matematikaversenyen jól szereplő diákok is vannak köztük, hogyha a gömbi főkört tekintjük, akkor annak átmérője d = 2 . 90 fok. A K/d arány az ebben az esetben 360 fok / 180 fok = 2.
1. röpdolgozat az összehasonlító geometriából
A tanultakat mind a 7.,mind 8. osztályban, mind az elsős gimnazistáknál később számon kértem egy főleg alapfogalmakra rákérdező 20 perces röpdolgozatban. (A hetedikeseknek a 16-os kérdést nem tettem fel, mivel velük azt nem vettük.)
 Hasonlítsd össze a síkot
 és a gömböt!
 1. Legegyszerűbb elem :
 
 
2. Legegyszerűbb vonal:
 
 3. Az egyenes vonal véges / végtelen.
 A gömbi egyenes véges / végtelen
 4. Az egyenes vonalnak ..... középpontja van.
 A gömbi főkörnek .... középpontja van.
 5. Két különböző ponton át .... egyenest rajzolhatunk.
 Két különböző ponton át .... főkört rajzolhatunk.
 6. Két pont ... részre bontja az egyenest.
 Két pont ... részre bontja a főkört.
 7. Két párhuzamos egyenesnek ... közös pontja van.
 A gömbön ...........párhuzamos főkörök.
 
8. Két metsző egyenesnek .... közös pontja van.
 
Két metsző főkörnek ....közös pontja van.
 
 
9. Két egybeeső főkörnek ......közös pontja van
 10. Két merőleges egyenes .... derékszöget határoz meg.
 Két merőleges főkör ..... derékszöget határoz meg.
 11. Két metsző egyenesnek .... közös merőlegese van.
 Két metsző főkörnek .... közös merőlegese van.
 12. Egyszög van / nincs.
 Egyszög van / nincs.
 13. Kétszög van / nincs.
  Kétszög van / nincs .
 14. A háromszög belső szögeinek összege:
 
A háromszög belső szögeinek összege:
 15. Egy háromszögnek legfeljebb .....derékszöge lehet.
 Egy gömbháromszögnek legfeljebb .... derékszöge lehet.
 16. A kör kerületének és átmérőjének aránya:
 A kör kerületének és átmérőjének aránya:
 
 
 17. Kisebb gömbháromszög szögei kisebbek/ nagyobbak.
 
 
 
 
 Pontozás: ( Megjegyzés: A szlovákiai osztályzatokban az egyesnek Magyaroszágon 5-ös felel meg, a kettesnek a négyes stb. A dolgozat átlagát a szlovákiai osztályzatok alapján számítottam ki.)
27-31=1
23-26=2
15-22=3
9-14 =4 
Átlag a közepes képességű 7. osztályban 4 óra gömbözés után: 3,21
Legrosszabb jegy nem volt,
1-es:1 db
2-es 0 db.
3-as 8 db
4-es 5 db.
A 8.-ban, ahol a röpdolgozatot még egy ismétlés is megelőzte, jobbak lettek. Szinte mindenkinek egyes-kettes lett. A 9. osztályban is nagyon jól sikerültek a dolgozatok.
Az általános tapasztalatom az volt, hogy többen jobb részjegyet értek el a gömbi geometriai ismereteket számonkérő kérdésekre. Összességében a röpdolgozat jobban sikerült, mint általában szokott.
Megoldókulcs az 1. gömbi geometria röpdolgozathoz
 Hasonlítsd össze a síkot
 és a gömböt!
 1. Legegyszerűbb elem : pont
 pont
 
2. Legegyszerűbb vonal: egyenes
 gömbi egyenes, gömbi főkör
 3. Az egyenes vonal véges / végtelen.
 A gömbi egyenes véges / végtelen
 4. Az egyenes vonalnak ....0. középpontja van.
 A gömbi főkörnek ..2.. középpontja van.
 5. Két különböző ponton át .1... egyenest rajzolhatunk.
 Két különböző ponton át .1... főkört rajzolhatunk. Átellenes pontokon pedig végtelen sokat.
 6. Két pont .3.. részre bontja az egyenest.
 Két pont .2.. részre bontja a főkört.
 7. Két párhuzamos egyenesnek .0.. közös pontja van.
 A gömbön .nincsenek.párhuzamos főkörök.
 
8. Két metsző egyenesnek ..1.. közös pontja van.
 
Két metsző főkörnek .2...közös pontja van.
 
 
9. Két egybeeső főkörnek ..végtelen sok....közös pontja van.
 10. Két merőleges egyenes ..4.. derékszöget határoz meg.
 Két merőleges főkör .8.... derékszöget határoz meg.
 11. Két metsző egyenesnek ..0.. közös merőlegese van.
 Két metsző főkörnek ..1.. közös merőlegese van.
 12. Egyszög van / nincs.
 Egyszög van / nincs.
 13. Kétszög van / nincs.
  Kétszög van / nincs .
 14. A háromszög belső szögeinek összege:
 180 fok
A háromszög belső szögeinek összege: legkisebb felvett érték: 180° , ez akkor van, ha a három csúcs azonos. A legnagyobb felvett érték: 540°, ekkor a gömbháromszög csúcsai egy gömbi főkörre esnek.
 15. Egy háromszögnek legfeljebb .1....derékszöge lehet.
 Egy gömbháromszögnek legfeljebb ..3.. derékszöge lehet.
 16. A kör kerületének és átmérőjének aránya: pí, azaz kb. : 3,14
 A kör kerületének és átmérőjének aránya:
 3,14-tól nulláig bármilyen érték lehet
 
 17. Kisebb gömbháromszög szögei kisebbek/ nagyobbak.
 
 
 
 
 Bár több kísérletet elvégezni nem volt már idő, ez elégségesnek bizonyult arra, hogy az elsősöknél röpdolgozatban azért szinte mindenki jól megválaszolja azt a kérdést, hogy mekkora a kör kerületének és átmérőjének aránya a gömbön, s azt is, hogy hány középpontja van a gömbi körnek.
Gömbi geometria pontverseny
            Bízva abban, hogy a diákok egyre jobban megkedvelik a gömbi geometriát, készítettem egy honlapot is, és rátettem sok fényképet a közös munkáról, ill. Lénárt István tanár úrnak a gimnazistáink számára tartott nagy sikerű előadásáról. Ezt szívesen nézegették. Remélve, hogy néhányan majd bekapcsolódnak, hirdettem egy pontversenyt is, de szomorúan tapasztaltam, bármennyire is szeretnek az órán gömbökre rajzolni, szerkeszteni, sajnos nagyon kevesen oldották meg az egyes fordulókban kitűzött feladatokat. Talán nehezek vagy nagyon szokatlanok:
1. feladat : Maci Laci lakhelyén elfogyott az ennivaló, s ezért hosszas vándorútra szánta rá magát. Először 100 km-t vándorolt dél felé. Evett, amit talált. Kicsit elszenderedett, majd nyugatra kanyarodott, és abba az irányba is ment 100 km-t. De mivel már nagyon gyötörte a honvágy, újra észak felé vette útját és azt  tapasztalta, hogy hazatért. A kérdés: Milyen színű Maci Laci bundája?
Megoldás:
Ezt a feladatot hallottam már párszor, gondolom, sokan találkoztak már vele. És a tipikus, szerintem hiányos megoldással is, miszerint a medve csak az Északi-sark lakója lehet, tehát Maci Laci jegesmedve, így a bundája fehér színű. Viszont Maci Laci nemcsak az Északi-sarkról indulva tud visszatérni a kiindulási helyére: ugyanezt megteheti a déli félgömbön is, nem is egy, az Egyenlítővel párhuzamos gömbi kör -de nem főkör, mert azok nem lehetnek párhuzamosak! -mentén! 
Pl.: lemehet délre 100 km-t, ott egyszer körbemegy, ennek a körnek a sugara: 100/6,28=15,92 km. Ugyanoda visszatérhet, ha még megy északra 100 km-t.
Ha kétszer körbemegy, akkor a kör sugara: 100/(2 . 6,28)=100/12,56=7,96km.
Ha 3-szor körbemegy, akkor a kör sugara: 100/(3 .6,28)=5,3 km.
Ha 4-szer körbemegy, akkor a kör sugara: 100/(4 .6,28)=3,98 km.
Ha 5-ször körbemegy, akkor a kör sugara: 100/(5 .6,28)=3,18 km.
...Így a körök sugara egyre kisebb lesz. 2,65, 2,27, 1,99, 1,769, 1,447, 1,326, 1,224, 1,147, 1,061, a 16-szoros körbemenésre -merthogy Maci Laci éhségében talán nem is veszi észre, hogy már elment egy adott jégdarab mellett, a kör sugara lehet már 0,995km. Stb. Végtelen sok ilyen kör van. Tehát Maci Laci élhetne a Déli sark közelében is. (Mivel azonban ott nem élnek medvék, csak pl. pingvinek, elvileg lehetne szó egy állatkertből hajóval elszállított és onnan kiszabadult medvéről is, ami lehetne akár szürke grizly vagy barnamedve is...)
2. feladat: Szerelmes hangyák
Egy 50 m sugarú gömb sarkpontjain 2 hangya ül a saját hangyabolyában: Anna, a hangyafiú az Északi Sarkon, Zéta, a hangyalány pedig a Déli Sarkon. Az Egyenlítő mentén egymástól 20 gömbi lépés távolságra katonahangya csapatok állomásoznak.
a) Hány gömbi egyenessel köthetnénk össze az összes állomáshelyet a két szerelmes hangyával?
(Kis segítség: egy gömbi főkör hossza 360 gömbi lépésnek felel meg.)
b) Minden nap az egyik állomáshelyről futár indul el a hangyafiúhoz, aki szerelmes levelet küld a hangyalánynek, aki a levélre másnap válaszol szintén futár segítségével. A hangyák csak a sarkpontokat összekötő egyenesek mentén haladhatnak, mert a többi helyet éppen víz borítja vagy ellenséges hangyák uralják.
Mennyi utat tesznek meg összesen a hangyafutárok egy hét alatt? 
Megoldás:
a) Az összes állomáshelyet a két szerelmes hangyával (360 fok: 20 fok):2 = 9 gömbi egyenessel köthetnénk össze.
b) A futárok a gömbi főkörök mentén rohangásznak, méghozzá a hangyafiú 1-1 levelével 3/4 főkörkerületnyit, azaz 3/4. (2. 50. 3,14)= 0,75 . 100 . 3,14=kb. 235,5 m-t tesznek meg. 7 nap alatt ez 7. 235,5 = kb. 1648,5 m.
A hangyalány egy-egy  levelével az adott futár félfőkör kerületnyit rohan, ami kb.
(2 . 50. 3,14)/2= 157 m. A hangyalány 6 napon át küldözget levelet, hiszen az első nap nem válaszol, így a futár a leveleivel 6. 157= 942 m utat tesz meg.
A gömbi hangyafutárok tehát összesen 1648,5 m + 942 m= 2590,5 m-t tesznek meg egy hét alatt.
(De ha valaki azt mondja, no igen, de lehetne venni egy közbülső időszakot is, akkor természetesen 157 m-rel több a végeredmény. Mindkét értelmezést, megoldást elfogadtam volna.)
3. feladat
a) A Föld körül 4 különböző kör alakú orbitális pályán, melyek síkja átmegy a Föld középpontján, egy-egy műhold kering. Valamennyi műhold azonos magasságban kering.
Legfeljebb hány helyen ütközhetnének egymással össze a műholdak? Pontosabban: legfeljebb hány helyen metszhetik egymást a műholdak pályái?
Megoldás:
A feladatot átfogalmazhatnánk úgy: legfeljebb hány pontban metszheti egymást 4 gömbi főkör?
Két különböző gömbi egyenesnek legfeljebb 2 metszéspontja lehet. 3 különböző gömbi egyenesnek legfeljebb 2 + 2 . 2 =6 metszéspontja lehet, mivel a 3. egyenes a meglévő egyenesek mindegyikét újabb két pontban metszi. 4 különböző gömbi egyenesnek legfeljebb 2+ 2 . 2 + 3 . 2 = 12 metszéspontja lehet.
b) Tudnánk-e általánosítani? n-re (ahol n természetes szám) hány metszéspont keletkezne?
Megoldás:
n-re legfeljebb 2 . (n - 1) . n / 2 = ( n - 1) . n   metszéspont keletkezhet.
Álljon itt további három feladat megoldás nélkül (aki tudja a megoldást, e-mailcímemre elküldheti):
 4. FELADAT
 Legfeljebb hány részre oszthatja a síkot ill. a gömbfelületet
a) 1 egyenes? b) 2 egyenes? c) 3 egyenes?
d) 4 egyenes? e) n  egyenes?
5. FELADAT
Egy gömbre 3 egymásra páronként merőleges főkört rajzolunk.
a) Hány db oktánst rajzoltunk meg így?
b) Hány színre van szükségünk ahhoz, hogy kiszínezzük a gömbfelületet, ha az egymással oldalban érintkező oktánsok nem lehetnek egyforma színűek?
6. FELADAT
Egy bolygón 3 különböző falun át szeretnénk vasúti összeköttetést teremten egyenesek mentén. Alfafalva, Bétafalva és Gammafalva között hányféle különböző vasútvonal jöhet létre?
 
A gömbi geometriával történő foglalkozás előnyei
Nagyon sokféle kompetenciaterületet fejleszt, használatának számos előnye van.
- Az osztályban a kutatáshoz kedvező feltételeket, jó hangulatot teremt, gyerekek élvezik a jó hangulatú kooperációt,
- önállóságra neveli őket,
- a manipuláció a gyerekek számára sikerélményt nyújt,
- közelebb viszi a gyerekekhez a való világot, mert azt jobb modellel írja le,
- fejleszti a térlátást, a képzelőerőt, a kreativitást,
- segíti a modellalkotást, analógiák kialakítását,
- segíti a kritikus gondolkodás kialakítását,
- megjelenik az “AHA!” -élmény, sikerélményhez juttat, megadja a felfedezés örömét,
- vitákat provokál, fejleszti a vitakultúrát,
- a gyerekek számára könnyebben elképzelhető, mert kézzel fogható,
- a kezdetektől apránként el lehet jutni a “nagy tudományos” tételek kimondásához,
- a síkgeometriában használt alapfogalmak elmélyítését segíti,
- segíti a logikus gondolkodás fejlődését,
- felkelti bennük a bizonyítás iránti igényt,
- a Bolyai geometriával, az Euklideszi geometriával jó összehasonlítási alapot nyújt,
- a pozitív értelemben vett másként gondolkodás elfogadását, a másik véleményének figyelembe vételét segíti
Szerintem segíti a különböző tudományágak közötti kapcsolatot :
- így főleg a földrajzzal, azon belül a csillágászati anyag tárgyalásánál is, ill. a vaktérképpel való munka során, sőt rögtön az első órán, a térkép léptéke, térképkészítés témánál, de segítségéval tanítható az időzónák, a földrengések létrejöttének okai, a földrajzi fokhálózat, tájékozódás a gömbön, stb.
- a fizikával, a kémiával, hiszen szóba jön, mint az atomok lehetséges modellje,
- képzőművészeti neveléssel : színes geometriai ábrák készíthetők rá, ami fejleszti az esztétikai érzéket,
- matematika órán segíti a logikus gondolkodás fejlődését, a síkidomok szimmetriáját is érdemes összehasonlítani  a síkon és a gömbön
- környezetvédelmi nevelés : óvjuk a bennünket körülvevő világot, hiszen mi is egy ehhez hasonló gömbön élünk. Erre rá lehet hívni a figyelmet akár a Himalája-kérdéssel összekötve.
Véleményem szerint a gömbi geometria megismerése nemcsak hasznos, hanem rendkívül fontos és tanár-diák számára egyaránt élvezhető. A tanártól nem követel meg magasszintű gömbi geometriai ismereteket, tudásszomjat és kísérletező kedvet, bátorságot viszont annál inkább. A síkgeometria és a gömbi geometria összehasonlítása mindkettő megértését segíti, a gyerekek számára rengeteg pozitív élményt nyújt. Meggyőződésem, hogy lehet egyszerre tanulmányozni a sík és a gömb geometriáját nemcsak tehetséggondozó szakkörön, táborban, hanem tanórán is. Ezzel a nézetemmel nem vagyok egyedül. Milan Hejný is az összehasonlító geometria és algebra fontosságát hangsúlyozza, bár egy másik modell kapcsán: az egyenes két pontja által meghatározott felezőpont, mint művelet értelmezése útján.
 Nem kell matematikában kevésbé tehetséges diákjainkat arra kárhoztatni, hogy csak Euklidesz síkjában mozogjanak és gondolkozzanak. Világunk jelenségeinek leírására hol az, hol a gömbi geometria, hol pedig a Bolyai geometria bizonyul célszerűbbnek. A tantervbe, tanmenetbe némi átszervezéssel a gömbi geometria beiktatható, természetesen az adott osztály tudásszintjéhez és kísérletező kedvéhez is igazítani kell. A befektetett idő hosszú távon megtérül, hiszen diákjaink és mi is rengeteget nyerünk ezzel tudásban is, élményekben is. Az összehasonlító geometria tanításának a jelenlegi euklideszi geometriaanyag elsajátításában is jelentős szerepe lehet: azt megkönnyítheti.
Hátrányai is vannak: időigényes, a tanártól több felkészültséget, ötletességet, szervezőkészséget kíván, szükséges hozzá, hogy legyen türelme kivárni a diákok válaszát, elviselni a csoportmunka hátrányait, beleértve az esetlegesen magasabb alapzajszintet, továbbá nem kell előadást tartania, csak az irányító szerep jut neki. Többször kell kezet mosnia, mert a vízoldékony filc, amivel a rajzgömbre szerkesztünk, eléggé maszatol. További negatívuma a gömbi geometria tanításának, hogy az ember mindent elkezd más szemmel nézni, az zöldségüzletben narancs és alma helyett gömbi geometria órára való szemléltetőeszközt lát.
Végezetül álljon itt egy kedvenc idézetem:
“Ez a matematika nem tökéletes, nem hideg, nem felsőbbséges. A legkevésbé sem tévedhetetlen, de mindig kész arra, hogy tévedéseit felismerje, és tanuljon belőlük. Semmi köze gőghöz, nagyképűséghez, csalhatatlansághoz. Éppolyan gyarló, éppolyan emberi, mint azok a nők és férfiak, akik alkották, vagy alkotják most is. Őrültség gyűlölni, vagy félni tőle. Legigazibb pillanataiban egyszerű, vad és csodálatos.” (Lénárt István)
Felhasznált irodalom:
1.      Milan Hejný : Aj geometria naučila človeka misliet‘, Slovenské pedagogické nakladate?stvo 1979
2.      Kuczmann Erika: Nem-Euklideszi kalandok matematikaórán, avagy hogyan tanítom a gömbi geometriát a felső tagozatosoknak, Matematika Tanítása, 2008 március ( A 2007-es Varga Tamás Napokon tartott előadás), 15-23. old.
3.      Lénárt István: Sík és gömb. Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. Múzsák kiadó Kft., Budapest
  1. Sedivý- Čeretková-Malperová-Ąudovi? Bálint: Matematika 5., 6., 7., 8., 9. osztály számára 1. és 2. részek, Slovenské pedagogické nakladate?stvo 1997-2001
  2. www.lenartgomb.hu
  3. www.gombigeometria.eoldal.hu (web-oldalam)