Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Varga Tamás Napok

2007.12.20

 

 

KUCZMANN ERIKA : NEM-EUKLIDESZI KALANDOK MATEMATIKAÓRÁN, AVAGY HOGYAN TANÍTOM A GÖMBI GEOMETRIÁT A FELSŐ TAGOZATOSOKNAK
 
Bevezetés
 
Magyarországon több száz általános és középiskola kapcsolódott be a Humánerőforrás- Fejlesztési Program (HEFOP 3.1.3.) keretében a több éves, átfogó kísérletsorozatba. A diákok a matematika-kompetencia keretén belül ismerkedhetnek az összehasonlító geometria elemeivel. Erről tavaly Makara Ágnes tartott előadást a Varga Tamás Napokon.Szlovákiában az Európai Szociális Alap támogatásával a pozsonyi Komenský Egyetem indított szlovák és magyar nyelvű e-learning tanfolyamot, Lénárt István vezetésével. Ezen a tanfolyamon ismertem meg ennek az oktatási módszernek alapjait. Itt szerzett tapasztalataim ösztönöztek arra, hogy ezt a módszert tanítványaimmal is kipróbáljam.
Szlovákiában, ahol 15 éve élek és tanítok, sajnos, nincs a NAT-hoz hasonló újpedagógiai program, reform. Az el nem fogadott Comenius program nyitotta volna meg az utat az Európai Unió által is támogatott kompetencia szemléletű, az ismereteket műveltségterületekre bontó oktatás előtt.
A felső tagozaton érvényes központi tantervek 1997-ben készültek, azóta már változtak a követelmények, 1999. szeptember 1-től érvénybe léptek, megjelentek az ún.műveltségi standardok, amit érthetőbben talán a curriculum szóval jellemezhetnék. Olyan minimális követelményeket takar ez a fogalom, amit a gyerek, ha tud, átléphet a következő évfolyamba, ezt feltétlenül tanítani kell, de nem kell minden gyereknek tudnia. (Pl. ha egy tananyag tudásánál 70-80% az elvárt szint, az azt jelenti, az osztálylétszám legalább ennyi %- ának tudnia kell.)
A minimális követelmények, azaz műveltségi standard a tantervvel, tanmenettel együtt a pedagógiai alapdokumentumokhoz tartozik. De szemben az alsó tagozatos párjával a felső tagozaton nincs szétbontva évfolyamokra, mikor mit kell tudnia a gyerekeknek, csak a 9. év végi követelmény ismert. Ezt ellenőrizni is szokták, eddig minden évben a Monitorral, ill. szakfelügyelői látogatásokkor íratott tesztek során. Ezek a tesztek úgy fordítási, mint metodikai szempontból több helyen vitathatók, amit a helyi és országos sajtó szóvá is tett. A szaktanárnak dolgozatíratáskor el kell hagynia az osztálytermet.
 
 
Melyik osztályban mit tanítunk geometriából?
 
A tantervi követelmények a magyarországihoz hasonlóak.
Alsó tagozaton:
 
1.      osztály: Háromszög, kör, négyzet, téglalap, gömb, kocka, henger megkülönböztetése, egyenes, zárt, nyitott vonal rajzolása
2.      osztály: Pont, szakasz, egyenes jelölése, rajzolása, hosszúságegységek, szakasz hossza, két pont távolságának mérése cm-ekben, adott hosszúságú szakasz rajzolása
3.      osztály: Szakasz hosszának mérése, adott hosszúságú szakasz, adott sugarú és középpontú kör, körlap rajzolása, mértékegységek átváltása, szakaszok hosszának összehasonlítása, háromszög, négyszög rajzolása, csúcsok elnevezése
4.      osztály: karcos vonalzóval adott egyenesre merőleges szerkesztése, szakaszok összegének, különbségének meghatározása, háromszög, négyzet kerülete, mértékegység átváltás
 
Felső tagozaton a következő témaköröket tanítjuk:
 
1.      A szög, szögmérés, műveletek szögekkel, szögmásolás, szögek egybevágósága, szögfelező szerkesztése, szögek nagyságának összeadása, kivonása, szög kétszerezése, felezése, csúcsszögek, mellékszögek – az elsajátítás elvárt szintje legalább 80%, mindez 5. osztályban anyag
váltószögek, egyállású szögek (6.oszt.)
2.      A háromszög-- az elsajátítás elvárt szintje legalább 70%
5.      osztály: háromszög-egyenlőtlenség
6.      osztály: A háromszög belső és külső szögei és tulajdonságai, egyenlő oldalú, egyenlő szárú háromszög, a háromszög magassága, súlyvonala, súlypontja, középvonala
7.      osztály: Pitagorasz tétel és gyakorlati alkalmazásai
9.      osztály: A derékszögű háromszög hegyesszögének szögfüggvényei
3.       Paralelogramma és tulajdonságai -- az elsajátítás elvárt szintje legalább 75%
            Téglalap, négyzet, rombusz kerülete, területe és szerkesztése,                  mértékegység átváltás (5. oszt.)
            Romboid, paralelogramma (6. oszt.)
4.        Trapéz és szerkesztése, kerülete, területe (7.oszt.)-- az elsajátítás elvárt szintje legalább 75%
5.      Kör, körvonal elemeinek megszerkesztése-- az elsajátítás elvárt szintje legalább 80%
                         5. oszt.: adott középpontú, sugarú kör szerkesztése, koncentrikus körök
             8. oszt.: egyenes és kör, ill. két kör kölcsönös helyzete, érintőszerkesztés,
Thalesz-kör, kör, körív kerülete, kör, körcikk területe
6.        Síkidomok egybevágósága, 6. osztály -- az elsajátítás elvárt szintje legalább 75%
Középpontos, tengelyes tükrözés, szimmetrikus alakzatok
A háromszögek egybevágóságának tételei
7.       Síkidomok hasonlósága, 9. osztály-- az elsajátítás elvárt szintje legalább 60%
A hasonlóság aránya, gyakorlati alkalmazása, szerkesztési feladatok, a háromszögek hasonlósági tételei, szakasz felbontása adott arányban
8.        Szerkesztési feladatok-- az elsajátítás elvárt szintje legalább 60%
5. oszt.: adott tulajdonságú pontok halmaza, szakaszfelező, szögfelező, párhuzamosok, merőlegesek, háromszögek, négyzet, téglalap szerkesztése
6. oszt.: háromszögek, paralelogramma szerkesztése
7. oszt.: trapéz szerkesztése
8. oszt.: Thalesz-kör
9.        A hegyesszög szögfüggvényei, 9. osztály-- az elsajátítás elvárt szintje legalább 75%
sin, cos, tg- mint a derékszögű háromszög oldalainak aránya, szögfüggvények meghatározása táblázattal, számológéppel, gyakorlati feladatok megoldása
10.   Testek felszíne és térfogata -- az elsajátítás elvárt szintje legalább 75%
                     6. osztály: kocka, téglatest, mértékegységek átváltása
         7. osztály: hasáb
         9. osztály: henger, kúp, gúla, gömb
 
A szlovákiai iskolákban a gyerekek gömbbel kétszer találkoznak: 5. osztályban a síkidom és testek kapcsán megemlítik, hogy van olyan, ill. 9.-ben a felszín- és térfogatszámítás kapcsán.
 
A heti óraszámok:
felső tagozaton   ill.       nyolcéves gimnáziumban
5. oszt.: 5 óra        ,     prima :   5 óra
6. oszt.: 5 óra        ,     secunda: 5 óra
7. oszt.: 4 óra        ,     tertia :    4 óra
8. oszt.: 4 óra        ,     quarta : 4 óra
9. oszt.: 4 óra         
 
nagy 1. oszt.:   4 óra , quinta :   3 (!) óra
         2. oszt.:    4 óra, sexta :      3 óra
         3. oszt.:   3 óra, septima : 3 óra
         4. oszt, ill octáva: szeminárium az érettségizőknek, heti 4 óra
Ez alatt az idő alatt a szakterminológiát is meg kell tanítani szlovákul. (A szakfelügyelői látogatásokkor ez érdekli leginkább az inspektorokat.)
 
Az osztálylétszám a zselízi Comenius Magyar Tanítási Nyelvű Gimnáziumban, mivel maga a diáklétszám is csak 157 fő, nagyon kicsi, 7. oszt.: 14 fő, 8. oszt.: 16 fő, 9. oszt. : 12 fő, és a többi osztályban is 20 fő alatt van.
 
A matematikakönyvek
 
 A Szlovákia szerte használatban lévő, központilag támogatott magyar nyelvű matematikakönyvek mindegyike a Sedivý- Čeretková-Malperová-Ąudovi? Bálint –féle tankönyvek magyar fordításai, ezeket zselízi kolléga, RNDr. Horváth Géza fordította. A könyveket 1997-2002 között nyomtatták, lépcsőzetesen léptek életbe. De sajnos, nincs elég belőlük.
5.      osztály 1. rész : 1997
2.      rész : 1998
6.      osztály 1. rész : 1998
                   2. rész : 1999
7.      osztály 1.rész : 1999
                   2. rész :2000
8.      osztály 1. rész: 2000
                    2. rész : 2001
9.      osztály 1. rész: 2001
                    2. rész: 2002
Ma még, tartva az esetleges könyvelkobzásoktól, a Magyarországon vásárolt matematikakönyveket a Szülői Szövetség iktatja be leltárába.
Ha valaki Szlovákiában gömbözni szeretne, az igazgató támogatásán kívül a Szülői Szövetség pénzügyi támogatását kell elnyernie. Néhányunknak ez már sikerült. Az érvényes rendeletek szerint az iskola a programjába a gömbi geometria tanítását beveheti, nagy feladat ezt összhangba hozni a tényleges követelményekkel.
 
Miért jó és hasznos az összehasonlító geometria tanítása?
 
Előadásom nagyobb részében képekkel is illusztrálva azt szeretném bemutatni, ezen körülmények között hogyan tettük meg az első lépéseket diákjaimmal a Lénárt-féle gömbkészlet segítségével a nem-euklideszi geometriák megismerése felé. Szó lesz arról, hogyan alakítottuk ki az alapfogalmakat, mértünk szögeket, határoztuk meg a háromszög belső és külső szögeinek összegét síkon és gömbön, tettünk körökkel kapcsolatos felfedezéseket. Arra szeretnék rávilágítani, hogy a szlovákiai tantervi és formai követelmények között is hasznos az összehasonlító módszer.
Hasznos és fontos, mert
-          gömbfelületen élünk, a természetben ez a forma a leggyakoribb (lásd: gyümölcsök, égitestek, labdák, vízcsepp )
-          a síkgeometriában használt alapfogalmak elmélyítését segíti,
-         a gömb gyakran áttekinthetőbb a gyerekek számára
-          a gömbözés során a gyerekek élvezik a jó hangulatú kooperációt,
-         felkelti bennük a bizonyítás iránti igényt,
-         a földrajzi fogalmak kialakulását is segíti,
-         segíti a vitakultúra kialakulását,
-         segíti a tolerancia létrejöttét,
-         sok szakember munkájában hasznos: pl. pilóta, hajós, csillagász, mérnök, építész, atomfizikus, biológus, kémikus
-         a manipuláció a gyerekek számára sikerélményt nyújt,
-         önállóságra neveli őket,
-         művészi képességeiket is fejleszthetjük a gömb segítségével.
 
 
A munkaforma
 
         A gömbözés során a gyerekek kooperatív csoportokban dolgoznak. Ezeket a 2-4 főből álló tanulócsoportokat különböző képességű és teljesítményű, eltérő szocio-kulturális háttérrel rendelkező, különböző nemű ill. etnikai hovatartozású gyerekek alkotják. Ezek a vegyes csoportok a gyerekek kívánságai szerint jönnek létre. Ez esélyt ad a gyengébb képességűnek arra, hogy ne maradjanak le, a jobb képességűeknek pedig – akik „tanítva” is tanulnak – arra, hogy az adott témakörben mélyebb és tartósabb tudásra tegyenek szert. Ez a tanulási mód jobban fejleszti a gyerekek problémamegoldó, elemző képességét, erősebb a motivációjuk, mint a hagyományos tanítási módszer során, mivel a tanulás tevékenységhez kötődik.
         Minden csoport kap egy-egy gömbkészletet. A terem elrendezése az órák közti szünetekben történik, a padokat a táblára kb. merőlegesen állítják fel, s ezt ülik körül. Az első, amit meg kell szokni, hogy a zajszint eleinte magasabb, mint frontális osztálymunka során.
         Munkám során nagy segítségemre van egy izgalmas kalandregény, Lénárt István: Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön c. munkája. Az egyes tanórákra ebből fénymásolom a szükséges diák-oldalt, mely a diákok által elvégzendő kísérletek részletesebb útmutatója. Ezt óra elején megkapják a tanulók, ez alapján dolgoznak, az óra 2. részében, végén pedig megbeszéljük, mire jutottak az egyes csoportok, összehasonlító táblázatba foglaljuk a síkon és gömbön végzett kísérletek során tett kísérleteink eredményeit, megfigyeléseinket. Ez az áttekintés nagyon fontos és hasznos azért, hogy könnyen átlássák a két geometria közti különbséget.
 
Az első lépések a felfedezések felé
 
        A gömbözést mindignagy izgalommal várják a gyerekek. Az ismerkedést azzal kezdtük, hogy bemutattam a NASA által készített Földtérképet, ez nagyon tetszett nekik, s megbeszéltük, melyik szín mit jelent rajta. Rájöttek, hogy a kék szín tengereket, tavakat jelent, a zöld szín füves, fás vidéket, a sárga sivatagot, a fehér pedig hóval, jéggel fedett területeket. Itt érdemes elgondolkodni, látható-e ezen az űrből készült fényképen fehér, de nem hideg dolog? Rávágták, hogy a jegesmedve, de élőlényt nem láthatunk, viszont a sósivatagokat vagy pl. a Kaszpi-tenger melletti, különlegesen nagy sótartalmú Kara-Bogaz öböl vizét igen.
 Látunk-e emberi építményt a fényképen? Nem. A gömbi fóliaréteg a kemény műanyag gömbhöz viszonyítva milyen vastagságot jelent földi méretekben? A találgatások során nem hangzott el a helyes válasz, miszerint a Himalája 3-szorosa. Itt utalni lehet a bioszféra sérülékenységére, a környezetvédelem fontosságára.
        Eleinte, amíg nem állt rendelkezésünkre elegendő Lénárt-féle rajzgömb, labdákra rajzoltunk, ill. almán, narancson tanulmányoztuk az alapfogalmakat. KÉP: LUCIÉK A LABDÁVAL , minden csoport rajzolt valamit a gömbre, s aztán ezt a többieknek bemutatta. Az óvodai jelek mellett, a napocska, szív a fő sláger. Ez megalapozta a jó hangulatot.
A gyerekek felszabadultan, nagy örömmel dolgoztak. Megállapodtunk abban, hogy a legegyszerűbb elem síkon is, a gömbön is a pont. Az első két órán a rajzeszközökkel ismerkedtünk, forgószínpados módszerrel. (Az első reakciójuk nekik is az volt, hogy fejükre tették a gömbvonalzót. A körközépponkereső tréfás neve, az UFO is tetszett nekik.)
Az 1. csoport megvizsgálta, hogy a gömbi vonalzó mely élei jók, melyek rajzolnak gömbi főköröket, azaz egyeneseket, s a legkevésbé hazugok a támasztóbütyök alatti ív 2 oldala. Nem volt számukra nyilvánvaló, miért nem lesz gömbi főkör, ha e mentén rajzolunk. A kétkedőket néha ma is meg kell győzni, hogy a főkört kétféleképp is rajzolhatjuk, fejjel lefelé állított vonalzóval ellenőrizhetjük a szerkesztés helyességét. Megvitattuk, hogy melyik a legegyszerűbb vonal, almán melyik a jó vágás. (Irányított kérdésekkel azt is megvizsgálják, és olyan megállapításokat is tesznek, ami maguktól nem jutna eszükbe hirtelen. Míg dolgoznak, a táblán elkészítem az összehasonlító táblázat vázát, a főbb megfigyelési szempontokkal kiegészítve.
A sík és a gömb összehasonlító táblázatába az alábbi megállapítások kerültek:
 
SÍK                                                              GÖMB
legegyszerűbb elem : pont                           pont
legrövidebb út: egyenes szakasz                 gömbi főkörív
legegyszerűbb vonal: egyenes                     gömbi főkör = gömbi egyenes
Az egyenes vonal végtelen.                          A gömbi főkör véges.
Az egyenes vonalnak nincs középpontja. A gömbi főkörnek két középpontja van.
Ha követünk egy egyenes vonalat              Ha követünk egy főkört a gömbön,
a síkon, sosem térünk vissza                        visszatérünk
                                     a kiindulási pontba.
                                     Két különböző ponton át
egy és csakis egy egyenest rajzolhatunk.       egy és csakis egy főkört rajzolhatunk.
                                                                             KIVÉVE: ha a két pont egymás                    sarkpontja, vagyis átellenes pontok, mert ekkor végtelen sok főkört rajzolhatunk!!
                       Két pont 3 részre bontja az egyenest.          Két pont a főkört két véges részre bontja.
 
A 2. csoport feladata gömbi szögek mérése volt gömbi szögmérővel, néhány különböző nagyságú gömbháromszög belső szögeit is meg kellett mérniük. A megfigyeléseiket feljegyezve meglepetten tapasztalták, hogy a szögösszeg nem állandó, idén erre a témakörre visszatértünk. Kérdeztem tőlük, mit gondolnak: lehet-e egy gömbháromszögnek egynél több derékszöge, esetleg akár 3. A 7. osztályosok hamar átlátták, hogy igen, és hogy 8 darab háromszor derékszögű háromszöget alkot 3 egymásra merőleges gömbi főkör. KÉP: POTOCKY ERIKÁÉK
A 3. csoport a gömbzőt, a gömbi körzőt próbálta ki. Kezdő felhasználók gyakran megfeledkeznek arról, hogy kijelöljék a gömbi kör középpontját, hiszen a síkkörző hegye kijelöli a papírlapon asíkbeli kör középpontját.Két, tanárkollégáknak tartott Lénárt rajzgömb készlet bemutatóm során azt tapasztaltam, hogy egy tanár sem jelölte ki a gömbikör középpontját! Erre következhet a kérdés: Hol van ennek a körnek a középpontja? Kissé meglepődve a könnyű kérdésen, megmutatják, amit annak gondolnak. És megdöbbennek, mikor kijelentem, hogy a válaszuk nem helyes. Az Egyenlítő –főkör, az Északi sark ill. a Déli sark a kör középpontjai analógiájára azért rájönnek, hogy a helyes válasz: minden gömbi körnek 2 középpontja van.
Koncentrikus köröket is rajzoltak. A 6. osztályosokat kértem, próbáljanak valami szép, szimmetrikus ábrát rajzolni a gömbre. Rozettával próbálkoztak, de az nem sikerült, mert nem lehet. KÉP: ERIKÉK
 
A házi feladat mindegyik csoportnak gömb alakú dolgok nevének gyűjtése volt, eztnagy lelkesedéssel tették. Néhányan keverték még elsőben is a kör és a gömb közötti fogalmat. (Talán érdemes néhány találatukat felsorolni: Föld, Jupiter, csillagok, hógolyó, üveggolyó, léggömb, kosár-, röp-, futball-, medicin-, ping-pong labda, gyöngyök, teke-, bowlinggolyó, vízi-, golflabda, higanycsepp, a modellezőkészlet atomjai, ágyú-, puskagolyó, pitykő, gombolyag, hagyma, szőlőszem, dinnye, narancs, citrusfélék termései, dió, kókuszdió, alma, barack, meggy, cseresznye, cseresznyepaprika, paradicsom, borsószem, káposzta, szilvásgombóc, tarhonyaszem, kaviár, nyalóka, rágógumi, bogáncs, emberi fej, szemgolyó, varázsgömb, süni, ha összehúzódik, a harang golyója rúd nélkül.)
 

 

További alapfogalmak bevezetése
 
A 3. órán azt vizsgálták, hogyan mérünk távolságot síkon és gömbön, valamint gömbi vonalzóval sarkpontokat és hozzájuk tartozó egyenlítőt szerkesztettek.
A megfigyelések táblázatba foglalva:
SÍK                                                           GÖMB
                        Két pont távolságát a rajtuk átmenő
egyenes szakasz                                       gömbi főkör mentén mérjük.
Egy mérhető szakasz van.                      Két mérhető főkörív van, a rövidebbet                   
                                                                      választjuk.
                            Két pont távolsága
bármilyen nagy                                       legfeljebb 180° lehet.
Két különböző pont között                    Két, egymással nem átellenes pont között                                csak egyetlenegy legrövidebb út lehetséges.
                                                                      Ha a két pont egymással átellenes,
                                                                      végtelen sok legrövidebb út lehetséges,
                                                                      de ezek hossza mindig 180°.
 
A gyerekek számára érdekes, hogy a távolságot is fokokban mérjük a gömbön, sőt a gömbi vonalzóval egyszerre mérhetünk távolságot és szöget is.
 
Szeretik a földrajzot, ezért azzal is szívesen foglalkoztak, hogy pl. Hol található a Greenwich-i hosszúsági főkörhöz tartozó két sarkpont. (Az egyik a Greenwich-i hosszúsági főkörtől 90°-ra nyugatra esik az Egyenlítőn , a Galápagos szigetek körül, a másik pedig Greenwich-i hosszúsági főkörtől 90°-ra keletre, az Indiai-óceánban, Szummátrától nyugatra. (Szumátra)
 
Párhuzamosság és merőlegesség síkon és gömbön
 
A 4-5. órána párhuzamosok és merőlegesek témaköre volt soron. Először azt kellett megvizsgálniuk, hány közös pontja lehet két egyenes vonalnak.
 A következő szerkesztéseket végezték el síkon és gömbön:
1.      lépés: Rajzolj egy e egyenest.
2.      lépés: Rajzolj egy egyenes vonalat, aminek nincs közös pontja e-vel.
3.      lépés: Rajzolj egy b egyenest, amelyiknek pontosan egy közös pontja van e-vel.
4.      lépés: Rajzolj egy c egyenest, amelyiknek pontosan két közös pontja van e-vel.
5.      lépés: Rajzolj egy d egyenest, amelyiknek több, mint 2 közös pontja van e-vel.
 
Az 1. lépést minden gond nélkül meg tudták szerkeszteni. A másodiknál a síkon természetesen megszületett a párhuzamos, de a gömbön először nem főkört, hanem egyszerű kört rajzoltak, a földrajzból vett ismeretek alapján azt mondták, az Egyenlítő és a Ráktérítő is párhuzamos, tehát vannak párhuzamos főkörök. Tisztáztuk, hogy gömbön párhuzamosság nem létezik, és pl. a Ráktérítő sem főkör. A 3. szerkesztés síkon metsző egyeneseket ad, a gömbön egy közös pont nem lehetséges két egyenesnél. A 4. lépés a síkon nem megszerkeszthető, a gömbön viszont bármelyik két főkör ilyen, átellenes pontok a metszéspontok! Két közös pontot pedig síkon akkor tudunk elérni, ha egybeeső vonalakról van szó.
Összefoglalva: síkon 3 eset lehetséges
1.      a két egyenes párhuzamos, 0 közös pont,
2.                             metsző          , 1 közös pont,
3.                             egybeeső       , végtelen sok közös pont.
a gömbön pedig 2 eset lehet:
metsző főkörökről (két közös pont) vagy egybeeső két főkörről van szó ( végtelen sok közös pont)
 További feladat volt annak vizsgálata, 3 egyenesnek ill. főkörnek legfeljebb hány metszéspontja lehet a síkon ill. a gömbön. A síkon egy-kettő meghatározták, hogy legfeljebb 3. A gömbön már rajzolniuk kellett, először 8-at tippeltek. Aztán büszkén mutatták a végeredményt: vagy ugyanabban a 2 pontban vagy 6 pontban metszik egymást. KÉP LACIÉK
 
Mit mondhatunk két merőleges egyenesről a síkon és két merőleges főkörről a gömbön?
 
Ezután a következő szerkesztéseket végezték:
Síkon: Rajzolj két metsző egyenest, amelyek a síkot 4 egyforma részre bontják fel, mérd meg valamennyi szögét.
Gömbön: Rajzolj két főkört, amelyek a gömböt 4 egyforma részre bontják fel, mérd meg a két főkör metszésénél keletkező összes szöget.
Ez nem volt számukra nehéz kérdés. A síkon is és a gömbön is merőleges egyeneseket rajzoltak, azt mondták, mindkét geometriában 90˚-osaknak kell lenniük a közbezárt szögeknek. Megfigyeléseik táblázatba foglalva:
 
Merőleges egyenesek                                       Merőleges főkörök
SÍKON                                                              GÖMBÖN
 
Két merőleges egyenes    EGY                        Két merőleges főkör KÉT
 pontban metszi egymást.                                   pontban metszi egymást.
4 derékszöget határoznak meg.                         8 derékszöget határoznak meg.
Két merőleges egyenes 4 végtelen,                     Két merőleges főkör 4 véges
                                  egybevágó tartományra bontja szét
a síkot.                                                                 a gömböt.
 
Hány közös merőlegese lehet 2 egyenes vonalnak, ill. gömbi főkörnek?
 
További szerkesztési feladatok voltak pl.:
Szerkesztés a síkon:
1.      lépés: Rajzolj két metsző egyenest, és próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges.
2.      lépés: Rajzolj két párhuzamos egyenest, és próbálj olyan egyenest szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges.
Szerkesztés a gömbön:
1.      lépés: Rajzolj két különböző gömbi főkört.
2.      lépés: Próbálj olyan főkört szerkeszteni, amelyik mindkettőre merőleges.
                Vizsgáld meg, hány közös merőlegese van két különböző főkörnek!
 
Ezek nem bizonyultak nehéz feladatoknak. Kérdésemre, sikerült-e a síkban mindkét egyenesre merőlegest állítani, azt felelték nem, mert olyan háromszög nincs, amelyiknek két szöge derékszög. További tapasztalataik: A síkon két metsző egyenesnek nincs közös merőlegese, két párhuzamos egyenesnek pedig végtelen sok közös merőlegese van. Míg a gömbön lehet két különböző főkörre merőlegest állítani, a gömbön két különböző gömbi főkörnek csak éppen egy közös merőlegese lehet, akár merőleges a két főkör, akár sem.
 
A sokszögekről
 
A gömbi geometriai tanulmányainkat idén a sokszögek tulajdonságainak vizsgálatával folytattuk. Az 1. órán mind a 7. mind a 8. osztályban először átismételtük a síkbeli háromszögekről, négyszögekről tanultakat, majd a gömbi kétszögek (2 óra) ill. gömbháromszögek (3 óra) tanulmányozására tértünk rá. A 8.-osokkal gyorsabban tudtunk haladni, mert fegyelmezettebbek voltak és a feladatokra koncentráltak.
 
A gyerekek számára természetes, hogy mivel a síkon a 3 az a legkisebb szám, amelynek megfelelő zárt sokszöget előállíthatunk, akkor a gömbön is léteznek háromszögek. De meglepődnek, ha megkérdezzük: Nem lehetne-e még lejjebb menni? Amikor a gömbön valami nagyon eltér a síkban tapasztaltakkor, rádöbbenünk mi is, a gyerekek is, hogy milyen fontos is, hogyan definiálunk egy adott fogalmat!!Hogyan határozhatjuk meg a „zárt sokszög” fogalmát a síkon? Kézzelfoghatónak tűnik a válasz: amelyiknek legalább 3 szöge van. De mi van akkor, ha így határozzuk meg: Nevezzük zárt n-szögnek (ahol n tetszőleges természetes szám) n db síkbeli, ill. gömbi egyenesdarab rendezett sorozatát, ahol bármelyik egyenesdarab végpontja megegyezik a rákövetkező egyenesdarab kezdőpontjával, az utolsó, n-edik egyenesdarab végpontja pedig megegyezik az első egyenesdarab kezdőpontjával. A matematikai jelöléssel ilyen kicsiket nem célszerű elrémiszteni, de ez a megfogalmazás számukra is elfogadható. Hogyan tudjuk ezt szemléltetni a gyengébbekkel? n gyereket sorbaállítunk, mindenki megfogja a szomszédja kezét, ilyen értelemben pl. 4 kislány négyszöget jelképez.
          Mikor azt kértem, rajzoljanak sokszöget a gömbre, akkor válogatás nélkül a gömbvonalzó minden élével rajzoltak, a hazugokkal is. Szép háromszögeknek gondolták az ábrájukat. Meg kellett állapodnunk, hogy csak főkörívek lehetnek a gömbsokszög oldalai Kérdezték, hogy akkor, amit ők a hazug élekkel rajzoltak, azt hogy hívják? Az olyan háromszög-szerű idomoknak, amelyeknél a csúcsokat nem egyenesdarabok, hanem körívek kötik össze, síkon is, gömbön is ívháromszög a nevük.
          Az ügyesebbek észreveszik, hogy vannak gömbi kétszögek is, és lelkesen tanulmányozzák. Két átellenes pontot félfőkörívekkel (meridiánokkal) összekötve olyan zárt sokszöget kapunk, amelyek kielégíti a gömbi kétszögre vonatkozó elvárásainkat. A következő kérdésekre kerestük együtt a választ: Mekkora a gömbi kétszögek oldalösszegének alsó és felső határa? 2. 180°= 360°, azaz 360 gömbi lépés! Ha megvizsgáljuk a belső szögek összegének alsó és felső határát, az euklideszi geometriához szokott szemléletünkkel nem kis meghökkenéssel tapasztaljuk, hogy itt a szögösszeg nem állandó, hanem 0 ° és 360° közé eshet. Most akkor szabályos sokszög-e a gömbkétszög? Mit várunk el egy szabályos sokszögtől? Oldalai egybevágók legyenek és a szögei is! Ha megvizsgáljuk, ez a két feltétel teljesül rájuk! Erre a gyerekek is rájönnek hamar.
                      Kérdeztem tőlük, mit gondolnak, létezik-e gömbi egyszög? Úgy gondolták, hogy nem. Még a legjobbak számára is meglepő volt, hogyha egy főkörön kijelölünk egy pontot, erre is teljesül a definíció, hiszen az egyenesdarabok száma egy, oldalának hossza 360°, szöge egy darab van, ennek nagysága 180°, az első és utolsó végpontja egybeesik. Szabályos sokszög-e a gömbi egyszög? Tényleg az, mondták, mert mindkét feltétel teljesül rá!
 
A háromszögek belső szögeinek összege síkon és gömbön
 
Azt, hogy a síkbeli háromszögek belső szögeinek összege 180°, többféle módon láthatjuk be: tépéssel-ragasztással, hajtogatással, méréssel, ill. be is bizonyíthatjuk. Pl.: két váltószög vagy pedig egy váltó és egy egyállású szög segítségével. Ezeket ismétlésként meg is tettük.
           A háromszög belső szögeinek összegét a következő kísérletsorozattal vizsgáltuk: Előbb a síkon, majd a gömbön is rajzolniuk kellett a diákoknak egy háromszöget, majd egy másikat, ami teljesen az előző háromszög belsejébe esett. Ezután meg kellett mérniük a szögeket s összegezni őket. S elgondolkodni azon, mennyi lehet a legkisebb és a legnagyobb szögösszeg a gömbön.
Arra ráéreztek, több háromszöggel végzett mérés után, hogy a gömbön a szögösszeg nem állandó, és megsejtették, hogy 180 fok alá nem eshet, de nem találták el, legfeljebb mekkora lehet, 300° vagy legfeljebb 360°-nak gondolták. Azt tapasztalták, ha egy háromszöget teljesen a másik belsejébe rajzolunk, akkor a kisebb háromszög szögei is kisebbek, szögösszege is kevesebb. Az egyik elfajult esetben, mikor 3 pont egy főkörre esik, a belső szögek összege 3.180°=540°. A másik elfajult esetben, mikor a háromszögnek mindhárom csúcsa ugyanarra a főkörre esik, de az egyik oldal egybeesik a másik kettővel, akkor a háromszögnek két 0°-os és egy 180°-os szöge van, tehát a szögösszeg 180°.
            Megkérdeztem tőlük, mikor lesz egy gömbháromszög belső szögeinek összege 180°. Azt felelték, ha minden oldala egyenlő. No, akkor rajzoljatok egyenlő oldalú gömbháromszögeket és mérjétek meg a szögeiket. Néhány diáknak nem sikerült egyformának mérni a szögeket. Kiderült, hogy nem értették meg, ha gömbzővel rajzolunk, az nem biztos, hogy háromszögoldalt ad, mert a gömbháromszög oldalai főkörívdarabok, másrészt kezük motorikájának, és eszközhasználatuknak is fejlődnie kell még. A fiúk általában ügyesebben és gyorsabban is dolgoztak, mint a lányok.
            A csoportok egymás után írták fel a táblára, az általuk megszerkesztett 80 fok, 70 fok, 60 fok, 30 fok oldalú szabályos gömbháromszögek szögeinek nagyságát, szögösszegét. A 80 fokos oldalú háromszögben levő szögek összegére 252° és 240°-ot kaptak, a 70° oldalú háromszög esetén ez 225 °, 228° és 231° volt az egyes csoportokban. Érdekesnek találták, hogy a síkon szabályos háromszög a gömbön 207°, 210° ill. 213° szögösszeget adott, a legjobban a 30° oldalú gömbháromszög belső szögösszege érte el a síkbeliét, 183° és 189°-kal. A fiúk kitalálták, hogy ők mindenképp fognak a gömbön is olyan háromszöget szerkeszteni, amelyben 180 ° lesz a szögösszeg. Az egyik csoport 20°, a másik pedig 10° oldalú háromszöggel kísérletezett, itt már 183 és 180 fokot mértek összesen a belső szögekre. Megállapítottuk, hogy a gömbháromszög belső szögeinek összege 180° és 540° közé esik. Ha egészen pici háromszögről van szó, akkor a szögösszeg közelít a 180°-hoz.
           Nagyon tetszett nekik az a kérdés, hogy egy háromszögnek lehet-e egynél több derékszöge, ill. hány derékszöge lehet. Megállapították, hogy lehet egy és kettő is, arról megoszlottak a vélemények, hogy 3 lehet-e. Akadt olyan csoport, amely tagjai eleve ilyet választottak szerkesztésre. Felfedezték, hogy 8 darab olyan háromszög, amelynek mindhárom belső szöge derékszög lefedi az egész gömbfelületet. (Ezt oktánsnak is nevezzük.)
 
További vizsgálódási lehetőségek
 
         Több érdekes témakörrel ismertethetjük meg még a gyerekeket.Nagyon szép szerkesztéseket, vizsgálatokat lehet végezni, ha összekötjük az oktáns felezőpontjait.
           Arra is érdemes kitérni 8. osztályban, ahol már vettük a Pitagorasz tételét, hogy vajon a gömbön érvényes-e ez? Az oktánsokról rögtön látjuk, hogy nem! Ebben az esetben mindhárom oldal hossza egyenlő, de az a2+ a2= a2 egyenletnek csak a=0 esetén lesz megoldása.
           Érdemes megnézni, vajon a háromszögek egybevágósági tételei érvényben maradnak-e a gömbön is? Azt látjuk, hogy két oldal és egy szög ill. két szög és egy oldal egybevágósága nem biztosítéka a gömbháromszögek egybevágóságának. Viszont ha mind a három oldal vagy mindhárom szög egybevágó, akkor a két gömbháromszög egybevágó. Ugyanez történik, ha két oldal és a közbezárt szögről van szó, ill. egy oldal és azon fekvő két szög egybevágó.
             A háromszögek kapcsán érdemes megvizsgálni azt, van-e hasonlóság a gömbön. (Nincs! Ha két gömbháromszög hasonló, akkor a hasonlóság aránya 1, tehát egybevágók.) Külön órákat érdemel a háromszög magasságvonalainak, középvonalainak, súlyvonalainak vizsgálata. A négyszögek témaköre is sok érdekességet rejt. Ezeket a témaköröket később fogjuk vizsgálni órán, szakkörön ill. matematikatáborban.
A kör kerülete
 
             A 8. osztályosokkal nagyon élvezetes órát tartottunk. Azt vizsgáltuk, hogyan aránylik a kör kerülete az átmérőjéhez. Először az volt a feladatuk, hogy rajzoljanak körül egy poharat, majd keressék meg a középpontját. Két húr metszéspontjaként ez sikerült is. Ezután megmérték a pohár peremének hosszát, ill. átmérőjét zsineg segítségével. Majd ugyanezt megtették a gömbön is. Mind a síkon, mind a gömbön különféle méretű poharakkal, kupakokkal. A kerület átmérő arányát ügyesen táblázatba foglalták síkon és gömbön. A síkon kijött a kb. 3,14. Észrevették, hogy a gömbön ez az arány nem állandó, hanem a kör nagyságával változik. Nagyon kicsi gömbi körökre ez az arány közel áll píhez, de annál mindig kisebb. Érdekes módon, nem a legjobb diákom látta át azonnal, hogy a lehetséges legnagyobb gömbi körre, a főkörre ez az arány éppen 2. Arra már nem jöttek rá, hogyha pedig az Egyenlítő túloldalán folytatjuk a körök rajzolását, akkor az arány egészen 0-ig is zsugorodhat.
 
Összegzés
 
       Véleményem szerint a gömbi geometria megismerése nemcsak hasznos, hanem rendkívül fontos és tanár-diák számára egyaránt élvezhető. A tanártól csak a gimnáziumi tanagyag ismeretét követeli meg. A tanulók a kísérletek során az első felfedezésekig a tapasztalatszerzés és a tapasztalatok alapján történő általánosítás (induktív érvelés) módszerével jutnak el. Ugyanekkor a kísérletek zömében a síkgeometria valamely axiómája áll szemben a gömbi geometria megfelelő axiómájával, tehát az axiómákból kiinduló logikai következtetés (deduktív érvelés) is nagy szerepet kap a munka során. A síkgeometria és a gömbi geometria összehasonlítása mindkettő megértését segíti, a gyerekek számára rengeteg pozitívélményt nyújt.A kétféle geometria egyidejű bevezetését tartom célszerűnek – sok más érv mellett azért is, mert a gömb valóban nagyon csábító, és a hasznos és ismert euklideszi geometriára az áttekinthetőbb, érthetőbb és izgalmasabb gömb után igen nehéz rákapatni a gyerekeket.
         Végezetül álljon itt egy kedvenc idézetem Lénárt István könyvéből:
Ez a matematika nem tökéletes, nem hideg, nem felsőbbséges. A legkevésbé sem tévedhetetlen, de mindig kész arra, hogy tévedéseit felismerje, és tanuljon belőlük. Semmi köze gőghöz, nagyképűséghez, csalhatatlansághoz. éppolyan gyarló, éppolyan emberi, mint azok a nők és férfiak, akik alkották, vagy alkotják most is. Őrültség gyűlölni, vagy félni tőle. Legigazibb pillanataiban egyszerű, vad és csodálatos.”
 
Felhasznált irodalom:
1.      Lénárt István: Sík és gömb. Nem-euklideszi kalandok a rajzgömbön. Múzsák kiadó Kft., Budapest (1999)
2.      Sedivý- Čeretková-Malperová-Ąudovi? Bálint: Matematika 5., 6., 7., 8., 9. osztály számára 1. és 2.részek, Slovenské pedagogické nakladate?stvo (1997-2002)
3.      Sedivý- Čeretková-Malperová-Ąudovi? Bálint: Matematika 5., 6., 7., 8., 9. osztály számára 1. és 2.részek, Slovenské pedagogické nakladate?stvo
4.      www.lenartgomb.hu
5.      www.ematik.sk